17) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 14 см, а длина бокового ребра 10 см. Определите площадь диагонального сечения.

Решение:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональное сечение — это треугольник, образованный двумя боковыми рёбрами и диагональю основания.

Дано:

• Сторона основания \( a = 14 \) см.
• Боковое ребро \( l = 10 \) см.

1. Найдем диагональ основания \( d \). В квадрате диагональ равна \( d = a\sqrt{2} \).

\( d = 14\sqrt{2} \) см.

2. Диагональное сечение — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \( l = 10 \) см и основанием \( d = 14\sqrt{2} \) см. Чтобы найти площадь этого треугольника, нам нужна его высота \( h_{sec} \) (высота пирамиды).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \) и боковым ребром \( l \).

\( \frac{d}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \) см.

По теореме Пифагора: \( H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2 \)

\( H^2 + (7\sqrt{2})^2 = 10^2 \)

\( H^2 + (49 \cdot 2) = 100 \)

\( H^2 + 98 = 100 \)

\( H^2 = 100 - 98 = 2 \)

\( H = \sqrt{2} \) см.

4. Теперь найдём площадь диагонального сечения (треугольника). Основание треугольника — диагональ \( d \), высота — \( H \).

\( S_{sec} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H \)

\( S_{sec} = \frac{1}{2} \cdot 14\sqrt{2} \text{ см} \cdot \sqrt{2} \text{ см} \)

\( S_{sec} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 2 \text{ см}^2 \)

\( S_{sec} = 14 \text{ см}^2 \)

Ответ: 14 см²