16) Радиус основания конуса равен 2√3 см, а образующие наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём конуса.

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, а \( h \) — высота конуса.

Дано:

• Радиус основания \( R = 2\sqrt{3} \) см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 60^{\circ} \).

Чтобы найти высоту \( h \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, высотой конуса и образующей. В этом треугольнике угол при основании равен \( 60^{\circ} \).

Высота \( h \) является катетом, противолежащим углу \( 60^{\circ} \), а радиус \( R \) — катетом, прилежащим к этому углу. Используем тангенс угла:

\( \tan \alpha = \frac{h}{R} \)

\( \tan 60^{\circ} = \frac{h}{2\sqrt{3}} \)

Известно, что \( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \).

\( \sqrt{3} = \frac{h}{2\sqrt{3}} \)

Выразим \( h \):

\( h = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6 \) см.

Теперь найдём объём конуса:

\( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3} \text{ см})^2 (6 \text{ см}) \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (4 \cdot 3 \text{ см}^2) (6 \text{ см}) \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (12 \text{ см}^2) (6 \text{ см}) \)

\( V = \frac{1}{3} \pi (72 \text{ см}^3) \)

\( V = 24\pi \text{ см}^3 \)

Ответ: \( 24\pi \text{ см}^3 \)