6) Вычислите : ∫ 0 to 1 2x dx

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_0^1 2x dx \).

Сначала найдём первообразную для \( 2x \).

\( \int 2x dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

\( [x^2]_0^1 = (1)^2 - (0)^2 = 1 - 0 = 1 \)

Ответ: 1