14) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: у = sinx, x = 0, x = π/2, y = 1.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \sin x \), \( y = 1 \), \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{2} \), можно найти как площадь под верхней кривой минус площадь под нижней кривой. В данном случае \( y=1 \) — верхняя граница, а \( y=\sin x \) — нижняя граница на интервале \( [0, \frac{\pi}{2}] \).

Формула для площади:

\( S = \int_a^b (y_{верх} - y_{низ}) dx \)

Подставим наши функции и пределы интегрирования:

\( S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x) dx \)

Найдём первообразную:

\( \int (1 - \sin x) dx = \int 1 dx - \int \sin x dx = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\( S = [x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} \)

\( S = (\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) - (0 + \cos 0) \)

Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \) и \( \cos 0 = 1 \).

\( S = (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 1) \)

\( S = \frac{\pi}{2} - 1 \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} - 1 \)