14. (3 балла). Доказать, что при $a\ne\pm5$ значение выражения $\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}$ не зависит от значения переменной $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. (3 балла). Доказать, что при $a\ne\pm5$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $25-a^2=(5-a)(5+a)$, $a^2-10a+25=(5-a)^2$. Подставим и упростим:

\[\left(\frac{3}{(5-a)(5+a)}+\frac{1}{(5-a)^2}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\]

\[=\frac12\left(\frac{3(5-a)}{5+a}+1\right)+\frac{3a}{a+5}=\frac{10-a}{a+5}+\frac{3a}{a+5}.\]

\[=\frac{10+2a}{a+5}=2.\]

При допустимых значениях $a\ne-5,5$ выражение постоянно и равно 2.

Доказано: значение выражения не зависит от $a$ и равно 2.

14. (3 балла). Доказать, что при \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\) не зависит от значения переменной \(a\).