15. Вычислите: 27⁶ / (9⁴⋅27⁹)

Решение:

• Представим все числа в виде степеней с одинаковым основанием. Наиболее удобным основанием будет 3.
• \[ 27 = 3^3 \]
• \[ 9 = 3^2 \]
• Подставим эти значения в выражение:
• \[ \frac{(3^3)^6}{(3^2)^4 \cdot (3^3)^9} \]
• Возведем степени в степени (перемножим показатели):
• \[ \frac{3^{3 \times 6}}{3^{2 \times 4} \cdot 3^{3 \times 9}} = \frac{3^{18}}{3^8 \cdot 3^{27}} \]
• Сначала упростим знаменатель, сложив показатели степеней:
• \[ 3^8 \cdot 3^{27} = 3^{8+27} = 3^{35} \]
• Теперь выражение выглядит так:
• \[ \frac{3^{18}}{3^{35}} \]
• При делении степеней с одинаковым основанием, вычитаем показатель делителя из показателя делимого:
• \[ 3^{18-35} = 3^{-17} \]

Ответ: 3⁻¹⁷