16. Известно, что ∠TSR : ∠RSP = 3 : 5, ∠RTS = 115°, RO ⟂ PS, PO = SO. Найдите ∠PRO.

Так как PO = SO и RO ⟂ PS, прямая RO является серединным перпендикуляром к PS. Следовательно, RP = RS, и ∠RPS = ∠RSP.

Пусть ∠TSR = 3x, а ∠RSP = 5x. Тогда ∠RPS = 5x. Поскольку P, R, T лежат на одной прямой, углы ∠TRS и ∠PRS смежные. В треугольнике RTS ∠TRS = 180° − 115° − 3x = 65° − 3x; в треугольнике PRS ∠PRS = 180° − 10x.

(65° − 3x) + (180° − 10x) = 180°, откуда x = 5°. Значит, ∠RPS = 25°.

В прямоугольном треугольнике PRO ∠PRO = 90° − ∠RPO = 90° − 25° = 65°.

Ответ: 65°.