16. Пусть A, B — произвольные множества. Покажите, что для каждой из приведённых ниже систем соотношений а), б), в) из справедливости одного соотношения системы вытекает справедливость всех других: а) A⊆B, \(\overline{A}\)⊇\(\overline{B}\), A∪B=B, A∩B=A; б) A∩B=∅, A⊆\(\overline{B}\), B⊆\(\overline{A}\); в) A∪B=U, \(\overline{A}\)⊆B, \(\overline{B}\)⊆A.

Во всех случаях доказательства следуют непосредственно из определений включения, объединения, пересечения и дополнения.

1. а) Каждое из четырёх соотношений равносильно A⊆B. Например, если A⊆B, то A∪B=B и A∩B=A. Переход к дополнениям меняет направление включения, поэтому \(\overline{A}\)⊇\(\overline{B}\). Обратно, из A∪B=B следует A⊆B, как и из A∩B=A.
2. б) Все три соотношения равносильны: A и B не имеют общих элементов. A∩B=∅ равносильно тому, что ни один элемент A не принадлежит B, то есть A⊆\(\overline{B}\); также это равносильно B⊆\(\overline{A}\).
3. в) Все три соотношения равносильны. Равенство A∪B=U означает, что каждый элемент U принадлежит хотя бы одному из A и B. Это равносильно тому, что всякий элемент, не принадлежащий A, принадлежит B, то есть \(\overline{A}\)⊆B; аналогично \(\overline{B}\)⊆A.