5. Доказать, что множества A={{a},{a,b}} и B={{c},{c,d}} равны тогда и только тогда, когда a=c, b=d.

Если a=c и b=d, то соответствующие элементы множеств совпадают, значит A=B.

Обратно, пусть A=B. Поскольку элементы множеств A и B — одноэлементное множество и двухэлементное множество, равенство элементов даёт {a}={c}, откуда a=c, и {a,b}={c,d}. При a=c это означает {a,b}={a,d}. Если во втором множестве b=a, то равенство потребовало бы d=a либо d=b; исходный текст не содержит условия a≠b или c≠d. Поэтому утверждение в общем случае неверно: например, при a=b=c=1 и d=2 получаем A={{1}} и B={{1},{1,2}}, которые не равны; а при a=b=c=d равенство выполняется. Для доказательства обратного направления необходимо дополнительное условие, что a≠b и c≠d, тогда из равенства пар следует b=d.