2. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

1. Определим элементы призмы:
   
   
   
   1. Правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник.
   
   
   2. Боковое ребро призмы является ее высотой: \( h = 9 \) см.
   
   
   3. Боковая грань призмы — прямоугольник.
   
   


2. Найдем сторону основания призмы:
   
   
   
   1. Диагональ боковой грани \( d_{грани} = 15 \) см.
   
   
   2. Стороны прямоугольника — высота призмы \( h \) и сторона основания \( a \).
   
   
   3. По теореме Пифагора: \( a^2 + h^2 = d_{грани}^2 \).
   
   
   4. \( a^2 + 9^2 = 15^2 \).
   
   
   5. \( a^2 + 81 = 225 \).
   
   
   6. \( a^2 = 225 - 81 = 144 \).
   
   
   7. \( a = \sqrt{144} = 12 \) см.
   
   


3. Вычислим площадь боковой поверхности:
   
   
   
   1. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
   
   
   2. Периметр равностороннего треугольника: \( P_{осн} = 3a = 3 · 12 = 36 \) см.
   
   
   3. \( S_{бок} = 36 \cdot 9 = 324 \) см².
   
   


4. Вычислим площадь полной поверхности:
   
   
   
   1. Площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \), где \( S_{осн} \) — площадь основания.
   
   
   2. Площадь равностороннего треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
   
   
   3. \( S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \) см².
   
   
   4. \( S_{полн} = 324 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 324 + 72\sqrt{3} \) см².
   
   

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 324 см², площадь полной поверхности равна \( 324 + 72\sqrt{3} \) см².