2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y=-x²+4, y =0

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков:
   
   
   
   1. Приравниваем уравнения функций: \( -x^2 + 4 = 0 \).
   
   
   2. Решаем полученное уравнение: \( x^2 = 4 \), откуда \( x = \pm 2 \).
   
   
   3. Точки пересечения с осью \( Ox \) (где \( y=0 \)) — это \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
   
   


2. Определяем, какая функция находится выше:
   
   
   
   1. График \( y = -x^2 + 4 \) — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 4).
   
   
   2. Ось \( Ox \) ( \( y=0 \)) находится ниже этой параболы на отрезке от -2 до 2.
   
   


3. Вычисляем площадь фигуры:
   
   
   
   1. Площадь \( S \) фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), где \( f(x) \ge g(x) \), вычисляется по формуле: \( S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx \).
   
   
   2. В нашем случае \( f(x) = -x^2 + 4 \) и \( g(x) = 0 \), \( a = -2 \), \( b = 2 \).
   
   
   3. \( S = \int_{-2}^2 (-x^2 + 4 - 0) dx = \int_{-2}^2 (-x^2 + 4) dx \).
   
   
   4. Находим первообразную: \( F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x \).
   
   
   5. Вычисляем определенный интеграл: \( S = F(2) - F(-2) \).
   
   
   6. \( F(2) = -\frac{2^3}{3} + 4(2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{-8+24}{3} = \frac{16}{3} \).
   
   
   7. \( F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2) = -\frac{-8}{3} - 8 = \frac{8}{3} - 8 = \frac{8-24}{3} = -\frac{16}{3} \).
   
   
   8. \( S = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \).
   
   

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.