Вторая часть экзаменационной работы 1. Высота цилиндра равна 20 см. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти диагональ осевого сечения.

Решение:

1. Определим элементы осевого сечения:
   
   
   
   1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник.
   
   
   2. Его стороны — высота цилиндра \( h \) и диаметр основания \( d \).
   
   
   3. Диагональ осевого сечения \( D \) является диагональю этого прямоугольника.
   
   


2. Используем данные задачи:
   
   
   
   1. Высота цилиндра \( h = 20 \) см.
   
   
   2. Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 60°. Это означает, что угол между диагональю \( D \) и диаметром основания \( d \) равен 60°.
   
   


3. Найдем диаметр основания:
   
   
   
   1. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), диаметром \( d \) и диагональю \( D \), мы имеем: \( \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{d} \).
   
   
   2. Значение \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \).
   
   
   3. \( \sqrt{3} = \frac{20}{d} \).
   
   
   4. Выразим \( d \): \( d = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.
   
   


4. Найдем диагональ осевого сечения:
   
   
   
   1. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \( D^2 = h^2 + d^2 \).
   
   
   2. \( D^2 = (20)^2 + \left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)^2 \).
   
   
   3. \( D^2 = 400 + \frac{400 \cdot 3}{9} = 400 + \frac{400}{3} \).
   
   
   4. \( D^2 = \frac{1200 + 400}{3} = \frac{1600}{3} \).
   
   
   5. \( D = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \) см.
   
   

Ответ: Диагональ осевого сечения равна \( \frac{40\sqrt{3}}{3} \) см.