2. Используя замену переменной, решите уравнение: б) 1 - sin 2x = cos x - sin x;

Для решения уравнения \( 1 - sin(2x) = cos(x) - sin(x) \), воспользуемся формулой \( sin(2x) = 2sin(x)cos(x) \). Получаем: \( 1 - 2sin(x)cos(x) = cos(x) - sin(x) \). Перенесём всё в левую часть: \( 1 - 2sin(x)cos(x) - cos(x) + sin(x) = 0 \). Представим \( 1 = sin^2(x) + cos^2(x) \) и получим: \( sin^2(x) + cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) - cos(x) + sin(x) = 0 \). Используем формулу \( (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 \) , тогда \( (sin(x) - cos(x))^2 - (cos(x) - sin(x)) = 0 \). Вынесем общий множитель \( cos(x)-sin(x) \) : \( (cos(x) - sin(x))(cos(x) - sin(x) - 1) = 0 \). Первый случай: \( cos(x) - sin(x) = 0 \), то есть \( cos(x) = sin(x) \), \( tg(x) = 1 \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \). Второй случай: \( cos(x) - sin(x) - 1 = 0 \), то есть \( cos(x) - sin(x) = 1 \). Умножим обе части на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): \( \frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( cos(\frac{\pi}{4})cos(x) - sin(\frac{\pi}{4})sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Используя формулу \( cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) \), получаем: \( cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит \( x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \). В итоге \( x = 2\pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где n - целое число. Объединяя решения: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где k и n - целые числа.