2. Используя замену переменной, решите уравнение: в) tg⁴x + ctg⁴x + tg²x + ctg²x = 4.

Для решения уравнения \( tg^4(x) + ctg^4(x) + tg^2(x) + ctg^2(x) = 4 \), введем замену \( y = tg^2(x) \) и \( \frac{1}{y} = ctg^2(x) \). Тогда уравнение приобретает вид: \( y^2 + \frac{1}{y^2} + y + \frac{1}{y} = 4 \). Умножим на \( y^2 \): \( y^4 + 1 + y^3 + y = 4y^2 \) или \( y^4 + y^3 - 4y^2 + y + 1 = 0 \). Это уравнение можно переписать как \( y^2 + y - 4 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} = 0 \). Сгруппируем \( y^2 + \frac{1}{y^2} + y + \frac{1}{y} - 4 = 0 \). Заметим, что \( (y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} \), то есть \( y^2 + \frac{1}{y^2} = (y + \frac{1}{y})^2 - 2 \). Пусть \( z = y + \frac{1}{y} \). Тогда уравнение будет выглядеть: \( z^2 - 2 + z - 4 = 0 \) или \( z^2 + z - 6 = 0 \). Решаем квадратное уравнение: \( (z + 3)(z - 2) = 0 \), то есть \( z = -3 \) или \( z = 2 \). Вернемся к \( y \): \( y + \frac{1}{y} = -3 \) или \( y + \frac{1}{y} = 2 \). Первый случай \( y + \frac{1}{y} = -3 \), \( y^2 + 3y + 1 = 0 \), решения \( y = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \). Так как \( y = tg^2(x) > 0 \), то этот случай не имеет решений. Второй случай \( y + \frac{1}{y} = 2 \), \( y^2 - 2y + 1 = 0 \), \( (y-1)^2 = 0 \), \( y = 1 \). Тогда \( tg^2(x) = 1 \), значит \( tg(x) = \pm 1 \). Отсюда, \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где k - целое число.