3. Используя разложение на множители, решите уравнение: в) sin²3x + sin²4x = sin²5x + sin²6x.

Для решения уравнения \( sin^2(3x) + sin^2(4x) = sin^2(5x) + sin^2(6x) \), воспользуемся формулой \( sin^2(a) = \frac{1 - cos(2a)}{2} \). Тогда уравнение принимает вид: \( \frac{1 - cos(6x)}{2} + \frac{1 - cos(8x)}{2} = \frac{1 - cos(10x)}{2} + \frac{1 - cos(12x)}{2} \). Умножим на 2: \( 1 - cos(6x) + 1 - cos(8x) = 1 - cos(10x) + 1 - cos(12x) \). Сократим единицы: \( -cos(6x) - cos(8x) = -cos(10x) - cos(12x) \). Умножим на -1: \( cos(6x) + cos(8x) = cos(10x) + cos(12x) \). Используем формулу суммы косинусов \( cos(a) + cos(b) = 2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2}) \): \( 2cos(7x)cos(-x) = 2cos(11x)cos(-x) \). Так как \( cos(-x) = cos(x) \), получаем: \( 2cos(7x)cos(x) = 2cos(11x)cos(x) \). Перенесем все в левую часть: \( 2cos(7x)cos(x) - 2cos(11x)cos(x) = 0 \). Вынесем общий множитель: \( 2cos(x)(cos(7x) - cos(11x)) = 0 \). Используем формулу разности косинусов \( cos(a) - cos(b) = -2sin(\frac{a+b}{2})sin(\frac{a-b}{2}) \): \( 2cos(x)(-2sin(9x)sin(-2x)) = 0 \), \( 4cos(x)sin(9x)sin(2x) = 0 \). Значит, \( cos(x) = 0 \) или \( sin(9x) = 0 \) или \( sin(2x) = 0 \). Первый случай: \( cos(x) = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Второй случай: \( sin(9x) = 0 \), \( 9x = \pi n \), \( x = \frac{\pi n}{9} \). Третий случай: \( sin(2x) = 0 \), \( 2x = \pi m \), \( x = \frac{\pi m}{2} \). Общее решение: \( x = \frac{\pi n}{9} \), где n - целое число.