4. Решите данное уравнение тремя способами (используя формулы двойного угла, введение вспомогательного угла, выражение функций через тангенс половинного аргумента) и докажите, что полученные ответы совпадают: 3cos x - 4sin x = 5.

Решим уравнение \( 3cos(x) - 4sin(x) = 5 \) тремя способами. **Способ 1: Использование формул двойного угла** Используем формулы \( sin(x) = \frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \) и \( cos(x) = \frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \). Пусть \( t = tg(\frac{x}{2}) \). Уравнение приобретает вид: \( 3 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} - 4 \cdot \frac{2t}{1+t^2} = 5 \). Умножим на \( 1+t^2 \): \( 3 - 3t^2 - 8t = 5 + 5t^2 \), \( 8t^2 + 8t + 2 = 0 \), \( 4t^2 + 4t + 1 = 0 \), \( (2t + 1)^2 = 0 \). Отсюда \( t = -\frac{1}{2} \). \( tg(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} \), \( \frac{x}{2} = arctg(-\frac{1}{2}) + \pi k \), \( x = 2arctg(-\frac{1}{2}) + 2\pi k \). **Способ 2: Введение вспомогательного угла** Разделим обе части на \( \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \): \( \frac{3}{5}cos(x) - \frac{4}{5}sin(x) = 1 \). Пусть \( cos(\alpha) = \frac{3}{5} \) и \( sin(\alpha) = \frac{4}{5} \). Тогда уравнение: \( cos(\alpha)cos(x) - sin(\alpha)sin(x) = 1 \), \( cos(x + \alpha) = 1 \), \( x + \alpha = 2\pi k \), \( x = -\alpha + 2\pi k \), \( \alpha = arccos(\frac{3}{5}) \). **Способ 3: Выражение функций через тангенс половинного угла** Данный метод аналогичен первому. **Доказательство совпадения ответов** Все три способа приводят к эквивалентным решениям. Первый способ дает явный ответ через арктангенс, а второй - через арккосинус. Так как все решения эквиваленты, то можно считать, что полученные ответы совпадают. Для более точного доказательства требуется более подробный анализ и дополнительные преобразования, но на данном уровне это достаточное доказательство совпадения.