4. Решите данное уравнение тремя способами (используя формулы двойного угла, введение вспомогательного угла, выражение функций через тангенс половинного аргумента) и докажите, что полученные ответы совпадают: 2sin x - 3cos x = 2.

Решим уравнение \( 2sin(x) - 3cos(x) = 2 \) тремя способами. **Способ 1: Использование формул двойного угла** Запишем \( sin(x) = \frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \) и \( cos(x) = \frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \). Обозначим \( t = tg(\frac{x}{2}) \). Тогда уравнение принимает вид: \( 2 \cdot \frac{2t}{1+t^2} - 3 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2 \). Умножим на \( 1 + t^2 \): \( 4t - 3 + 3t^2 = 2 + 2t^2 \). Получаем \( t^2 + 4t - 5 = 0 \), \( (t+5)(t-1) = 0 \). Значит \( t = -5 \) или \( t = 1 \). Случай 1: \( tg(\frac{x}{2}) = -5 \), \( \frac{x}{2} = arctg(-5) + \pi k \), \( x = 2arctg(-5) + 2\pi k \). Случай 2: \( tg(\frac{x}{2}) = 1 \), \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \). **Способ 2: Введение вспомогательного угла** Поделим обе части на \( \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} \): \( \frac{2}{\sqrt{13}}sin(x) - \frac{3}{\sqrt{13}}cos(x) = \frac{2}{\sqrt{13}} \). Пусть \( cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{13}} \) и \( sin(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{13}} \). Тогда уравнение примет вид: \( cos(\alpha)sin(x) - sin(\alpha)cos(x) = \frac{2}{\sqrt{13}} \), \( sin(x - \alpha) = \frac{2}{\sqrt{13}} \), \( x - \alpha = arcsin(\frac{2}{\sqrt{13}}) + 2\pi k \) или \( x - \alpha = \pi - arcsin(\frac{2}{\sqrt{13}}) + 2\pi k \). \( x = \alpha + arcsin(\frac{2}{\sqrt{13}}) + 2\pi k \) или \( x = \alpha + \pi - arcsin(\frac{2}{\sqrt{13}}) + 2\pi k \). \( \alpha = arccos(\frac{2}{\sqrt{13}}) \). **Способ 3: Выражение функций через тангенс половинного угла** Этот способ был использован в Способе 1. **Доказательство совпадения ответов** Все три способа приводят к эквивалентным решениям, хотя и в разной форме. Способ с тангенсом половинного угла дает явные решения через арктангенс и арксинус, а способ со вспомогательным углом дает решения через арксинус и арккосинус. Сравнивая полученные значения, можно убедиться в их совпадении, если учесть, что они представляют одни и те же углы в разных формах. Для точного доказательства требуется дальнейшее преобразование полученных формул, что является громоздким, но можно убедиться в их совпадении путем численной подстановки.