3. Используя разложение на множители, решите уравнение: a) cos 2x = sin x - cos x;

Для решения уравнения \( cos(2x) = sin(x) - cos(x) \), воспользуемся формулой \( cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) \). Тогда уравнение примет вид: \( cos^2(x) - sin^2(x) = sin(x) - cos(x) \). Разложим левую часть на множители: \( (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) = sin(x) - cos(x) \). Перенесем все в левую часть: \( (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) + (cos(x) - sin(x)) = 0 \). Вынесем общий множитель: \( (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x) + 1) = 0 \). Первый случай: \( cos(x) - sin(x) = 0 \), \( cos(x) = sin(x) \), \( tg(x) = 1 \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \). Второй случай: \( cos(x) + sin(x) + 1 = 0 \). Умножим на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): \( \frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Используем формулу \( sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) \) и получим \( sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \). В итоге, \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \) или \( x = \pi + 2\pi n \). Объединяя решения: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \) и \( x = \pi + 2\pi n \), где k и n - целые числа.