2. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если её наименьшая боковая грань — квадрат.

Решение:

Основание призмы — прямоугольный треугольник. Известны гипотенуза \( c = 13 \) см и один катет \( a = 12 \) см. Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ 12^2 + b^2 = 13^2 \]

\[ 144 + b^2 = 169 \]

\[ b^2 = 169 - 144 \]

\[ b^2 = 25 \]

\[ b = 5 \) см.

Стороны основания треугольника равны 12 см, 5 см и 13 см.

Наименьшая боковая грань призмы — квадрат. Это означает, что высота призмы \( H \) равна наименьшей стороне основания, то есть 5 см.

\[ H = 5 \) см.

Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания \( P \) на высоту призмы \( H \):

\[ S_{бок} = P \cdot H \]

Периметр основания \( P \) равен сумме длин всех сторон основания:

\[ P = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30 \) см.

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 30 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 150 \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 150 \) см².