3. Найдите \( \cos\alpha \), если \( \sin\alpha = -\frac{4}{5} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

Подставим известное значение \( \sin\alpha \):

\[ \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \]

\[ \frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1 \]

Выразим \( \cos^2\alpha \):

\[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} \]

\[ \cos^2\alpha = \frac{25-16}{25} \]

\[ \cos^2\alpha = \frac{9}{25} \]

Извлечём квадратный корень:

\[ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} \]

\[ \cos\alpha = \pm\frac{3}{5} \]

Условие \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) означает, что угол \( \alpha \) находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус отрицателен.

Следовательно, выбираем отрицательное значение:

\[ \cos\alpha = -\frac{3}{5} \]

Ответ: \( \cos\alpha = -\frac{3}{5} \).