2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции: \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 5 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), где \( f(x) \ge g(x) \), вычисляется как определённый интеграл:

\[ S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx \]

В данном случае:

• Верхняя функция: \( f(x) = \frac{1}{x} \)
• Нижняя функция: \( g(x) = 0 \)
• Пределы интегрирования: \( a = 1 \), \( b = 5 \)

На отрезке \( [1, 5] \) функция \( y = \frac{1}{x} \) положительна, поэтому \( f(x) \ge g(x) \).

Вычисляем площадь:

\[ S = \int_1^5 \left(\frac{1}{x} - 0\right) dx = \int_1^5 \frac{1}{x} dx \]

Первообразная для \( \frac{1}{x} \) есть \( \ln|x| \).

\[ S = \left[ \ln|x| \right]_1^5 \]

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \ln|5| - \ln|1| \]

Так как \( \ln(1) = 0 \):

\[ S = \ln(5) - 0 = \ln(5) \]

Ответ: \( \ln(5) \).