2. Решить неравенство: \( \log_2{(x-5)} \le 2 \)

Решение:

Чтобы решить неравенство \( \log_2{(x-5)} \le 2 \), учтём область допустимых значений (ОДЗ): \( x-5 > 0 \), следовательно, \( x > 5 \).

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 2: \( 2 = \log_2{2^2} = \log_2{4} \).

Неравенство примет вид:

\[ \log_2{(x-5)} \le \log_2{4} \]

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция логарифма возрастает, поэтому мы можем приравнять аргументы:

\[ x-5 \le 4 \]

Решим полученное линейное неравенство:

\[ x \le 4 + 5 \]

\[ x \le 9 \]

Учитывая ОДЗ \( x > 5 \), получаем решение:

\[ 5 < x \le 9 \]

Ответ: \( (5; 9] \).