8. Найти интегралы:

Решение:

1. Найдём неопределённый интеграл \( \int (2x^2 - 1)dx \):

   \[ \int (2x^2 - 1)dx = 2\int x^2 dx - \int 1 dx \]

   Используем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int C dx = Cx + C \).

   \[ 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - x + C = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - x + C = \frac{2}{3}x^3 - x + C \]

2. Найдём определённый интеграл \( \int_1^2 x^4 dx \):

   \[ \int_1^2 x^4 dx = \left[ \frac{x^{4+1}}{4+1} \right]_1^2 = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_1^2 \]

   Применим формулу Ньютона-Лейбница \( F(b) - F(a) \):

   \[ \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \]

Ответ: 1) \( \frac{2}{3}x^3 - x + C \); 2) \( \frac{31}{5} \).