Вторая часть экзаменационной работы. 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен 45°.

Пусть \( d \) — диагональ осевого сечения, \( h \) — высота цилиндра, \( D \) — диаметр основания цилиндра.

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, диаметром и высотой цилиндра, имеем:

• \( d = 8 \) см.
• Угол между диагональю и диаметром основания равен 45°.

Используем тригонометрические соотношения:

Диаметр основания \( D \):

\[ D = d \cdot \cos(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Радиус основания \( r \):

\[ r = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

Высота цилиндра \( h \):

\[ h = d \cdot \sin(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{полн} \) складывается из площади боковой поверхности \( S_{бок} \) и площадей двух оснований \( S_{осн} \):

\[ S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \]

Площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 2 \(\pi\) r h = 2 \(\pi\) \(2\sqrt{2}\)\(4\sqrt{2}\) = 2 \(\pi\) \(\cdot\) 8 \(\cdot\) \(\sqrt{2}\)^2 = 16 \(\pi\) \(\cdot\) 2 = 32\(\pi\) \) см².

Площадь одного основания:

\[ S_{осн} = \(\pi\) r^2 = \(\pi\) \(2\sqrt{2}\)^2 = \(\pi\) \(\cdot\) \(4 \cdot 2\) = 8\(\pi\) \) см².

Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 32\(\pi\) + 2 \(\cdot\) 8\(\pi\) = 32\(\pi\) + 16\(\pi\) = 48\(\pi\) \) см².

Ответ: \( 48\pi \) см².