Третья часть экзаменационной работы. 1. Решите уравнение \( 4\sin^2 x - 12\sin x + 5 = 0 \).

Решение:

Это тригонометрическое уравнение является квадратным относительно \( \sin x \). Введём замену переменной: пусть \( t = \sin x \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ 4t^2 - 12t + 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \sin x \). У нас два случая:

1. \( \sin x = \frac{5}{2} \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

2. \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Это уравнение имеет два семейства решений:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).