4. Точка движется по закону \( S(t) = t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 2t - 1 \). Найти скорость и ускорение в момент времени \( t = 3 \) с.

Решение:

Скорость \( v(t) \) — это первая производная от закона движения \( S(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}\left(t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 2t - 1\right) \]

\[ v(t) = 3t^2 - \frac{3}{2} \cdot 2t + 2 \]

\[ v(t) = 3t^2 - 3t + 2 \]

Ускорение \( a(t) \) — это первая производная от скорости \( v(t) \) (или вторая производная от \( S(t) \)):

\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}\left(3t^2 - 3t + 2\right) \]

\[ a(t) = 6t - 3 \]

Теперь найдём скорость и ускорение в момент времени \( t = 3 \) с:

Скорость:

\[ v(3) = 3(3)^2 - 3(3) + 2 = 3 \cdot 9 - 9 + 2 = 27 - 9 + 2 = 20 \]

Ускорение:

\[ a(3) = 6(3) - 3 = 18 - 3 = 15 \]

Ответ: Скорость \( v(3) = 20 \) м/с, ускорение \( a(3) = 15 \) м/с².