21. $\log_{49}(2x^2+x-5)+\log_{\frac17}(1+x)=0$

Question

Вопрос: $Фото задания: 21. $\log_{49}(2x^2+x-5)+\log_{\frac17}(1+x)=0$$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $2x^2+x-5>0$ и $x>-1$.

Поскольку $49=7^2$, а $\log_{\frac17}u=-\log_7u$, уравнение равносильно $\frac12\log_7(2x^2+x-5)=\log_7(1+x)$.

При $x>-1$ обе части являются логарифмами положительных чисел. Значит, $\sqrt{2x^2+x-5}=1+x$, то есть $2x^2+x-5=(x+1)^2$.

Получаем $x^2-x-6=0$, или $(x-3)(x+2)=0$. Из корней $3$ и $-2$ ОДЗ удовлетворяет только $3$.

Ответ: $x=3$.

21. \(\log_{49}(2x^2+x-5)+\log_{\frac17}(1+x)=0\)