30. $\log_5x+\log_x25=\operatorname{ctg}^2\frac{25\pi}{6}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 30. $\log_5x+\log_x25=\operatorname{ctg}^2\frac{25\pi}{6}$$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x>0$, $x\ne1$. Поскольку котангенс имеет период $\pi$, $\operatorname{ctg}^2\frac{25\pi}{6}=\operatorname{ctg}^2\frac{\pi}{6}=3$.

Пусть $t=\log_5x$, где $t\ne0$. Тогда $\log_x25=\frac{\log_5 25}{\log_5x}=\frac2t$.

Решаем $t+\frac2t=3$: $t^2-3t+2=0$, или $(t-1)(t-2)=0$. Значит, $t=1$ или $t=2$, откуда $x=5$ или $x=25$.

Ответ: $x=5;\ 25$.

30. \(\log_5x+\log_x25=\operatorname{ctg}^2\frac{25\pi}{6}\)