23. \(\log_x(9x^2)\cdot\log_3^2 x=4\)

ОДЗ: \(x>0\), \(x\ne1\). Обозначим \(y=\log_3x\), тогда \(y\ne0\) и \(x=3^y\).

По формуле перехода к новому основанию: \(\log_x(9x^2)=\frac{\log_3(9x^2)}{\log_3x}=\frac{2+2y}{y}\).

Подставим: \(\frac{2+2y}{y}\cdot y^2=4\), откуда \(2y^2+2y-4=0\), или \((y-1)(y+2)=0\).

Тогда \(y=1\) или \(y=-2\), значит, \(x=3\) или \(x=\frac19\). Оба значения допустимы.

Ответ: \(x=3;\ \frac19\).