293 4) \(2 \log_{\frac{1}{3}} 6 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45}\)

Используем свойства логарифмов: \(c \log_a b = \log_a b^c\), \(\log_a b - \log_a c + \log_a d = \log_a \frac{b \cdot d}{c}\). \(2 \log_{\frac{1}{3}} 6 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45} = \log_{\frac{1}{3}} 6^2 - \log_{\frac{1}{3}} 400^{\frac{1}{2}} + \log_{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{45})^3 = \log_{\frac{1}{3}} 36 - \log_{\frac{1}{3}} 20 + \log_{\frac{1}{3}} 45 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{36 \cdot 45}{20} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1620}{20} = \log_{\frac{1}{3}} 81\). Так как \(81 = (\frac{1}{3})^{-4}\), то \(\log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-4} = -4\).
Ответ: -4