296 3) \(\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3\log_2 \sqrt{2}}\)

Используем свойства логарифмов: \(c \log_a b = \log_a b^c\), \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\). \(\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 20 + \log_2 (\sqrt{2})^3} = \frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 (20 \cdot 2\sqrt{2})} = \frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 (40\sqrt{2})} = \frac{\log_2 (2^2 \cdot 10^{\frac{1}{2}})}{\log_2 (2^3 \cdot 5 \cdot 2^{\frac{1}{2}})} = \frac{\log_2 (2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})}{\log_2 (2^{\frac{7}{2}} \cdot 5)} = \frac{\log_2 (2^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})}{\log_2 (2^{\frac{7}{2}} \cdot 5)} \). Это выражение нельзя упростить до простого числа, так как степени при двойке и пятерке в числителе и знаменателе не совпадают. Данное выражение оставляет в виде \(\frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 (40\sqrt{2})}\).
Ответ: \(\frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 (40\sqrt{2})}\)