3. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 81. Найти площадь поверхности шара.

Дано:

• Цилиндр и вписанный в него шар.
• Площадь полной поверхности цилиндра S_цил = 81.

Найти: Площадь поверхности шара S_ш.

Решение:

1. Если шар вписан в цилиндр, то его радиус r равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра h = 2r.
2. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: S_цил = 2πr² + 2πrh.
3. Подставим h = 2r: S_цил = 2πr² + 2πr(2r) = 2πr² + 4πr² = 6πr².
4. Итак, 6πr² = 81.
5. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_ш = 4πr².
6. Выразим πr² из уравнения для цилиндра: πr² = 81 / 6 = 27 / 2 = 13.5.
7. Подставим значение πr² в формулу площади поверхности шара: S_ш = 4 * 13.5 = 54.

Ответ: 54