5. \(\sqrt{x-2}+\sqrt{2x+13}=7\)

ОДЗ: \(x\ge2\). Возведём в квадрат:

\(3x+11+2\sqrt{(x-2)(2x+13)}=49\), поэтому \(\sqrt{(x-2)(2x+13)}=19-\frac32x\). Правая часть должна быть неотрицательной, значит \(x\le\frac{38}{3}\).

Повторное возведение в квадрат даёт \((x-2)(2x+13)=(19-\frac32x)^2\), откуда \(5x^2-48x+100=0\). Корни: \(x=10\) и \(x=2\).

Проверка: при \(x=2\) сумма корней равна \(\sqrt{17}\ne7\); при \(x=10\) она равна \(\sqrt8+\sqrt{33}\), но это не 7. Следовательно, полученные корни не удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: решений нет.