7. \(\sqrt[3]{3x+4}+\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{16(x+1)}\)

Обозначим \(a=\sqrt[3]{3x+4}\), \(b=\sqrt[3]{x}\). Тогда правая часть равна \(2\sqrt[3]{x+1}\), но удобнее проверить разложением куба: из исходного равенства \(a+b=\sqrt[3]{16(x+1)}\). Возводим в куб и используем \(a^3=3x+4\), \(b^3=x\):

\(4x+4+3ab(a+b)=16x+16\), значит \(3ab(a+b)=12(x+1)\).

При \(x=-1\) исходное равенство выполняется: обе части равны \(\sqrt[3]{1}-1=0\) слева и 0 справа. Для остальных значений найденное равенство сводится к \(\sqrt[3]{x(3x+4)}\sqrt[3]{16(x+1)}=4(x+1)\); после кубирования получается тождество, и с учётом знаков оно выполняется при \(x\ge-1\). При \(x<-1\) знаки сторон несовместимы.

Ответ: \(x\ge-1\).