6. (1 вариант) В равностороннем треугольнике ABC точка M – пересечение высот. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный. Найдите длину биссектрисы ∠AMC, если MC=5.

6. (1 вариант) Дано: Равносторонний треугольник ABC, M – точка пересечения высот, MC = 5. Доказать, что треугольник AMC – равнобедренный, найти биссектрису ∠AMC. Решение: 1) В равностороннем треугольнике все высоты являются также медианами и биссектрисами, и они пересекаются в одной точке. 2) В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Высоты делят углы на 2 по 30 градусов. 3) ∠CAM = ∠ACM = 30°. Треугольник AMC является равнобедренным, так как два его угла равны. 4) ∠AMC = 180° - 30° - 30° = 120°. Биссектриса ∠AMC делит его на 2 равных угла, каждый по 60°. 5) Длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике AMC из вершины M, равна MC, если угол AMC = 120°. 6) Рассмотрим прямоугольный треугольник, полученный биссектрисой, один угол которого 60 градусов. Катет, лежащий напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы. Гипотенуза - это MC. Тогда второй катет равен sqrt(5^2 - (5/2)^2) = 5*sqrt(3)/2. Следовательно, биссектриса равна 5*sqrt(3)/2. Ответ: Треугольник AMC равнобедренный. Длина биссектрисы равна 5*sqrt(3)/2.