6. (2 вариант) В равностороннем треугольнике ABC точка M - пересечение медиан. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный. Найдите высоту треугольника AMC, проведенную к стороне AC, если MC=14.

6. (2 вариант) Дано: Равносторонний треугольник ABC, M – точка пересечения медиан, MC = 14. Доказать, что треугольник AMC – равнобедренный, найти высоту треугольника AMC, проведенную к стороне AC. Решение: 1) В равностороннем треугольнике все медианы являются также высотами и биссектрисами, и они пересекаются в одной точке. Медианы делят друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. 2) В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Медианы делят углы на 2 по 30 градусов. 3) Рассмотрим треугольник AMC. ∠CAM = ∠ACM = 30°. Треугольник AMC является равнобедренным, так как два его угла равны. 4) Медиана в равностороннем треугольнике является также высотой, и она делит основание пополам. 5) Высота в треугольнике AMC, проведенная к стороне AC, будет являться медианой этого треугольника, следовательно, основание AC поделится на два равных отрезка. 6) Точка M делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины, и CM = 2 * AM. Тогда AM = MC/2 = 14/2 =7 7) В равностороннем треугольнике медианы совпадают с высотами, значит угол между медианой из вершины А к основанию ВС и основанием, равен 90 градусам. Угол CAM = 30 градусов. 8) Высота треугольника AMC, проведённая к стороне AC, равна AM * sin(60). h = 7 * sqrt(3)/2 Ответ: Треугольник AMC равнобедренный, высота треугольника AMC, проведенная к стороне AC, равна 7√3/2.