6. Найдите cos x, если sin x = √5/10 и 90°<x<180°.

Решение:

Для нахождения cos x, когда известно sin x, мы используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Подставим известное значение sin x:

\[ \left(\frac{\sqrt{5}}{10}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \]

\[ \frac{5}{100} + \cos^2 x = 1 \]

\[ \frac{1}{20} + \cos^2 x = 1 \]

Выразим cos2 x:

\[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{20} = \frac{20}{20} - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} \]

Теперь найдем cos x, извлекая квадратный корень:

\[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{19}{20}} = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}} = \pm \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{19}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{95}}{10} \]

Теперь определим знак cos x. По условию, 90° < x < 180°. Это вторая четверть координатной плоскости, где косинус отрицательный.

Следовательно, выбираем отрицательное значение:

\[ \cos x = -\frac{\sqrt{95}}{10} \]

Ответ: -√95/10