63. \(\log_2x\cdot\log_2(x+3)+1=\log_2(x^2-3x)\).

Область допустимых значений задаётся условиями логарифмов: \(x>0\), \(x+3>0\), \(x^2-3x>0\). Следовательно, \(x>3\).

При \(x>3\) имеем \(\log_2x>1\) и \(\log_2(x+3)>\log_2x\). Поэтому левая часть больше \((\log_2x)^2+1\).

Также \(x^2-3x<x^2\), значит правая часть меньше \(2\log_2x\). Обозначив \(t=\log_2x>1\), получаем \(t^2+1-2t=(t-1)^2>0\). Левая часть уравнения строго больше правой.

Ответ: решений нет.