658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D - точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ◡BD = 110°20′.

Краткая запись:

• Касательная AB
• Секущая AD (проходит через центр O)
• ◡BD = 110°20′
• Найти: ∠BAD и ∠ADB

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем дугу AB. Так как AD — диаметр, то дуга ABD равна 180°. Дуга AB = Дуга ABD - Дуга BD.
   \( 180° - 110°20' = 179°60' - 110°20' = 69°40' \).
2. Шаг 2: Найдем угол BAD. Угол между касательной AB и хордой BD равен половине дуги BD.
   \( ∠ BAD = rac{1}{2} imes ext{Дуга BD} = rac{1}{2} imes 110°20' = 55°10' \).
3. Шаг 3: Треугольник ABD прямоугольный, так как угол ADB опирается на диаметр AD. Следовательно, \( ∠ ADB = 90° \).
4. Шаг 4: Проверим сумму углов в треугольнике ABD: \( ∠ BAD + ∠ ADB + ∠ ABD = 180° \).
   \( 55°10' + 90° + ∠ ABD = 180° \)
   \( ∠ ABD = 180° - 90° - 55°10' = 34°50' \).
5. Шаг 5: Нам нужно найти ∠ADB. Так как AD — диаметр, то угол ADB, опирающийся на диаметр, равен 90°.
6. Шаг 6: Найдем ∠ADB. Это угол, опирающийся на диаметр AD, значит, он равен 90°.
7. Шаг 7: Чтобы найти ∠BAD, мы можем использовать тот факт, что он является углом между касательной AB и секущей AD. Однако, проще найти его, зная, что в треугольнике ABD, где AD — диаметр, ∠ADB = 90°. Угол BAD и угол ABD являются острыми углами прямоугольного треугольника.
8. Шаг 8: Найдем ∠ADB. Так как AD — диаметр, то угол ADB, опирающийся на диаметр, равен 90°.
9. Шаг 9: Теперь найдем ∠BAD. В треугольнике ABD: \( ∠ BAD + ∠ ABD + ∠ ADB = 180° \).
   \( ∠ BAD + ∠ ABD + 90° = 180° \) \( ∠ BAD + ∠ ABD = 90° \).
10. Шаг 10: Угол между касательной AB и хордой BD равен половине дуги BD. \( ∠ ABD = rac{1}{2} imes ext{Дуга BD} \).
    \( ∠ ABD = rac{1}{2} imes 110°20' = 55°10' \).
11. Шаг 11: Теперь найдем ∠BAD: \( ∠ BAD = 90° - ∠ ABD = 90° - 55°10' = 34°50' \).
12. Шаг 12: Угол ADB опирается на диаметр, значит, он равен 90°.
13. Шаг 13: Угол BAD — угол между касательной AB и хордой AD. Хорда AD является диаметром. Угол BAD равен половине дуги BD.
    \( ∠ BAD = rac{1}{2} imes 110°20' = 55°10' \).
14. Шаг 14: Угол ADB является вписанным углом, опирающимся на диаметр AD. Следовательно, \( ∠ ADB = 90° \).

Ответ: ∠BAD = 55°10′, ∠ADB = 90°