7.10 Найдите значение выражения: \(5\sqrt{2} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \)

Для решения этого задания нам необходимо найти значения тригонометрических функций и подставить их в выражение.

• Значения тригонометрических функций:
• \( \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) (так как \( \frac{5\pi}{6} \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен)
• \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} \) (тангенс — нечетная функция, и \( \frac{\pi}{3} \) находится в первой четверти)
• Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[ 5\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\sqrt{3}\right) \]

• Перемножим множители:

\[ 5\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\sqrt{3}\right) = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{4} \]

\[ = 30 \cdot \frac{1}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Ответ: 7.5