7.13 Найдите значение выражения: \(\sqrt{12} - \sqrt{48} \sin^2 \frac{7\pi}{12} = \)

Для решения этого задания нам нужно вычислить значения \(\sqrt{12}\), \(\sqrt{48}\) и \(\sin^2 \frac{7\pi}{12}\).

• Упростим корни:
• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \)
• Теперь вычислим \( \sin \frac{7\pi}{12} \). Мы можем представить \( \frac{7\pi}{12} \) как сумму \( \frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \).
• Воспользуемся формулой синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \).
• \( \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{3} \)
• \( = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \)
• Теперь возведем в квадрат:

\[ \sin^2 \frac{7\pi}{12} = \left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{16} = \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} = \frac{8 + 2 \cdot 2\sqrt{3}}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

• Теперь подставим все в исходное выражение:

\[ 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

• Сократим \( 4\sqrt{3} \) с \( 4 \) в знаменателе:

\[ 2\sqrt{3} - \sqrt{3} (2 + \sqrt{3}) \]

• Раскроем скобки:

\[ 2\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \]

\[ 2\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 3) \]

\[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3 \]

\[ -3 \]

Ответ: -3