7.11 Найдите значение выражения: \(7 \cos \left(\frac{17\pi}{12}\right) \cdot \sin \left(\frac{17\pi}{12}\right) = \)

Для решения этого задания воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

• Исходное выражение: \( 7 \cos \left(\frac{17\pi}{12}\right) \cdot \sin \left(\frac{17\pi}{12}\right) \)
• Мы можем переписать его как:

\[ \frac{7}{2} \cdot 2 \cos \left(\frac{17\pi}{12}\right) \cdot \sin \left(\frac{17\pi}{12}\right) \]

• Теперь применим формулу двойного угла, где \( \alpha = \frac{17\pi}{12} \):

\[ \frac{7}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{17\pi}{12}\right) \]

• Упростим аргумент синуса:

\[ 2 \cdot \frac{17\pi}{12} = \frac{17\pi}{6} \]

• Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{7}{2} \sin \left(\frac{17\pi}{6}\right) \]

• Найдем значение \( \sin \left(\frac{17\pi}{6}\right) \). Угол \( \frac{17\pi}{6} \) можно представить как \( \frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} \).
• Так как синус имеет период \( 2\pi \), то \( \sin \left(2\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) \).
• \( \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) (угол \( \frac{5\pi}{6} \) находится во второй четверти, где синус положителен).
• Подставим это значение обратно:

\[ \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{4} \]

Ответ: 7/4