7.16 Найдите значение выражения: \(\frac{3 \sin 62^{\circ}}{\cos 31^{\circ} \cos 59^{\circ}} = \)

Для решения этого задания воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и формулой двойного угла для синуса.

• Сначала заметим, что \( 59^{\circ} = 90^{\circ} - 31^{\circ} \). Используя формулу приведения \( \cos(90^{\circ} - \beta) = \sin \beta \), получим:

\[ \cos 59^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 31^{\circ}) = \sin 31^{\circ} \]

• Теперь выражение примет вид:

\[ \frac{3 \sin 62^{\circ}}{\cos 31^{\circ} \sin 31^{\circ}} \]

• В числителе \( \sin 62^{\circ} \) можно представить как \( \sin (2 \cdot 31^{\circ}) \). Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
• \( \sin 62^{\circ} = 2 \sin 31^{\circ} \cos 31^{\circ} \)
• Подставим это в числитель:

\[ \frac{3 \cdot (2 \sin 31^{\circ} \cos 31^{\circ})}{\cos 31^{\circ} \sin 31^{\circ}} \]

• Теперь мы можем сократить \( \sin 31^{\circ} \) и \( \cos 31^{\circ} \) в числителе и знаменателе:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Ответ: 6