7.12 Найдите значение выражения: \(22\sqrt{3} \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) - 11\sqrt{3} = \)

Для решения этого задания воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 \).

• Выражение: \( 22\sqrt{3} \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) - 11\sqrt{3} \)
• Вынесем общий множитель \( 11\sqrt{3} \) за скобки:

\[ 11\sqrt{3} \left( 2 \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) - 1 \right) \]

• Теперь выражение в скобках соответствует формуле двойного угла для косинуса, где \( \alpha = \frac{13\pi}{12} \).
• \( 2 \cos^2 \left(\frac{13\pi}{12}\right) - 1 = \cos \left(2 \cdot \frac{13\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{13\pi}{6}\right) \)
• Теперь вычислим \( \cos \left(\frac{13\pi}{6}\right) \). Угол \( \frac{13\pi}{6} \) можно представить как \( \frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \).
• Так как косинус имеет период \( 2\pi \), то \( \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \).
• \( \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Подставим это значение обратно в выражение:

\[ 11\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Перемножим:

\[ 11 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 11 \cdot \frac{3}{2} = \frac{33}{2} \]

Ответ: 33/2