7.15 Найдите значение выражения: \(7 \cos \alpha, \text{ если } \sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7} \text{ и } \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \)

Для решения этого задания воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

• Нам дано: \( \sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7} \) и \( \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \). Условие \( \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) \) означает, что угол \( \alpha \) находится в первой четверти, где и синус, и косинус положительны.
• Подставим значение \( \sin \alpha \) в основное тригонометрическое тождество:

\[ \left(\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

• Вычислим квадрат синуса:

\[ \frac{(3\sqrt{5})^2}{7^2} = \frac{9 \cdot 5}{49} = \frac{45}{49} \]

• Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{45}{49} + \cos^2 \alpha = 1 \]

• Найдем \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{45}{49} = \frac{49 - 45}{49} = \frac{4}{49} \]

• Теперь найдем \( \cos \alpha \). Так как \( \alpha \) в первой четверти, \( \cos \alpha \) положителен:

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7} \]

• Наконец, найдем значение выражения \( 7 \cos \alpha \):

\[ 7 \cdot \frac{2}{7} = 2 \]

Ответ: 2