7.14 Найдите значение выражения: \(17\sqrt{2} \cos^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) - 17\sqrt{2} \sin^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) = \)

Для решения этого задания воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

• Исходное выражение: \( 17\sqrt{2} \cos^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) - 17\sqrt{2} \sin^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) \)
• Вынесем общий множитель \( 17\sqrt{2} \) за скобки:

\[ 17\sqrt{2} \left( \cos^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) - \sin^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) \right) \]

• Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла, где \( \alpha = \frac{5\pi}{8} \).
• \( \cos^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) - \sin^2 \left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos \left(2 \cdot \frac{5\pi}{8}\right) = \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) \)
• Теперь вычислим \( \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) \). Угол \( \frac{5\pi}{4} \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.
• \( \cos \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Подставим это значение обратно в выражение:

\[ 17\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

• Перемножим:

\[ 17 \cdot \left(-\frac{(\sqrt{2})^2}{2}\right) = 17 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) = 17 \cdot (-1) = -17 \]

Ответ: -17