7.4 Найдите значение выражения: 10^5,5 : 5^4,5 \(\cdot\) 2^{-3,5} =

Для решения этого задания нам нужно упростить выражение, используя свойства степеней.

• Перепишем десятичные показатели степеней в виде обыкновенных дробей: \( 5,5 = \frac{11}{2} \), \( 4,5 = \frac{9}{2} \), \( -3,5 = -\frac{7}{2} \).
• Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[ 10^{\frac{11}{2}} : 5^{\frac{9}{2}} \cdot 2^{-\frac{7}{2}} \]

• Представим \( 10^{\frac{11}{2}} \) как \( (5 \cdot 2)^{\frac{11}{2}} = 5^{\frac{11}{2}} \cdot 2^{\frac{11}{2}} \).
• Теперь выражение выглядит так:

\[ 5^{\frac{11}{2}} \cdot 2^{\frac{11}{2}} : 5^{\frac{9}{2}} \cdot 2^{-\frac{7}{2}} \]

• Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ (5^{\frac{11}{2}} : 5^{\frac{9}{2}}) \cdot (2^{\frac{11}{2}} \cdot 2^{-\frac{7}{2}}) \]

• Используем свойство степеней \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ 5^{\frac{11}{2} - \frac{9}{2}} \cdot 2^{\frac{11}{2} + (-\frac{7}{2})} \]

\[ 5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}} \]

\[ 5^1 \cdot 2^2 \]

\[ 5 \cdot 4 = 20 \]

Ответ: 20