7. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, AH — высота, BH = 6. Найдите косинус угла BAC.

Так как \(AH\perp BC\), треугольник ABH прямоугольный, где AB — гипотенуза. Для угла BAH \(\cos\angle BAH=\dfrac{AH}{AB}\).

По теореме Пифагора \(AH^2=AB^2-BH^2=15^2-6^2=189\), значит, \(AH=3\sqrt{21}\). Поскольку H лежит на BC, лучи AH и AC находятся по одну сторону от AB; при этом дано лишь AC = BC, а не что H лежит на луче AC. На рисунке угол BAC — угол между AB и AC, и равенство боковых сторон даёт \(\cos A=\dfrac{AB}{2AC}\), но AC можно найти: \(BC=BH+HC\), а \(AC^2=AH^2+HC^2\) и AC=BC. Следовательно, \((6+HC)^2=189+HC^2\), откуда \(12HC=153\), \(HC=\dfrac{51}{4}\), \(AC=\dfrac{75}{4}\).

Тогда \(\cos A=\dfrac{AB}{2AC}=\dfrac{15}{75/2}=\dfrac{2}{5}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{5}\).