76. 1/2 + log₉ x − log₃ 5x > log₁⁄₃(x + 3).

ОДЗ: \(x>0\). Перейдём к логарифмам по основанию 3: \(\log_9x=\frac12\log_3x\), а \(\log_{1/3}(x+3)=-\log_3(x+3)\).

После переноса и объединения логарифмов получаем \(\log_3\frac{x+3}{\sqrt{x}}>\log_3\frac5{\sqrt3}\). Так как основание больше 1, это равносильно \(\frac{x+3}{\sqrt{x}}>\frac5{\sqrt3}\).

Положим \(t=\sqrt{x}>0\). Тогда \(\sqrt3t^2-5t+3\sqrt3>0\). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \(25-36=-11<0\), а старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любом \(t\).

Ответ: \((0;+\infty)\).