785. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что $\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 785. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что…$ Фото задания

785. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что $\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})$.

Accepted Answer

Обозначим радиус-векторы вершин через $\vec A,\vec B,\vec C,\vec D$. Так как $M$ и $N$ — середины диагоналей, $\vec M=\frac12(\vec A+\vec C)$, $\vec N=\frac12(\vec B+\vec D)$.

Тогда $\overrightarrow{MN}=\vec N-\vec M=\frac12(\vec B+\vec D-\vec A-\vec C)=\frac12((\vec D-\vec A)+(\vec B-\vec C))=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})$. Равенство доказано.

785. Точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\). Докажите, что \(\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})\).

Ответ: